Реферат: Прикладная математика

и исключаем х₁ из всех уравнений системы (17), кроме первого уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (11) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х₁ , ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х₄ из (8)).

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (8) в виде уравнения

-36х₁ -14х₂ -25х₃ -50х₄ =0– z (21)

и припишем его к системе (11). Получается вспомогательная система уравнений

(22)

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (11) мы выбрали х₄ . Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент D₄ =-50. Затем мы нашли разрешающий элемент а₃₄ =5 и исключили неизвестную х₄ из всех уравнений системы (11), кроме третьего. Далее нам пришлось х₄ исключать и из функции (8). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить третье уравнение системы (22) на 10 и прибавить к четвертому; получим

-6х₁ -4х₂ -5х₃ -10х₄ = 1810 – z (23)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду

x₁ + 2x₂ + 2x₃ + x₅ - x₇ = 27

x₁ + x₂ - x₃ + x₆ - x₇ = (24)

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₇ =

-6x₁ - 4x₂ - 5x₃ +10x₇ = 1810 - z

13

?????? ??? ????????? ???? ??????? ???????????? ????????? ?????????????? ?????????? (17) ??????? ????????? (11) ? ?????????? ???????? ??????????????? ??????? (16) ? ???????????????? ????????? (18), ? ?? ?????????? ????????? ??????? (24) ?????????? ????????? (19) ??????? ???? ????? ????????? ??????????. ????????, ???? ??????? ???? ?? ???? ????????????? ??????????? D_j ??? ?????-?????? ?????????? x_j ? ????????? ????????? ??????? (24), ?? ???????????????? ????????? ?? ???????? ????????? ? ????? ????? ?????????? ??????? ?? ?????????. ? ??????? (19) ?? ????????, ??? ??????? ???????? ??????????? ????????? ??????? ????, ?.?. ?????????? ?? ????? ? ????????? ????????? ??????? (24) ?????????? ????????????? ???????????

min(D_j <0) = min(-6, -4, -5) = -6 = D₁

и решили перевести свободную переменную х₁ в число базисных, для чего, согласно (20)определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а₁₁ =1.

Учитывая сказанное выше, теперь мы будем преобразовывать не систему (17), а всю вспомогательную систему (24), по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду

x₁ + 2x₂ + 2x₃ + x₅ - x₇ = 27

3x₂ - x₃ - x₅ + x₆ + x₇ = 13 (25)

- x₂ - x₃ + x₄ - x₅ + x₇ = 20

8x₂ + 7x₃ + 6x₅ + 4x₇ = 1972 - z

Первые три уравнения системы (25) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

x₁ =27, x₂ =0, x₃ =0, x₄ =20, x₅ =0, x₆ =13, x₇ =0 (26)

т.е. определяют производственную программу

x₁ =27, x₂ =0, x₃ =0, x₄ =20 (27)

и остатки ресурсов:

первого вида х₅ =0

второго вида х₆ =13 (28)

третьего вида х₇ =0

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательныепеременные

z = 1972 - 8х₂ - 7х₃ - 6х₅ -4х₇ (29)