Реферат: Прикладная математика
x2 =0, x3 =0, x5 =0, x7 =0 (30)
Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль
zmax = 1972 (31)
Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.
Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.
|
36 14 25 50 0 0 0 | Пояснения | |||
Базис | Н | x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 | ||
0 | х5 | 208 | 4 3 4 5 1 0 0 | z0 = H |
0 | х6 | 107 | 2 5 0 2 0 1 0 | |
0 | х7 | 181 | 3 1 2 5 0 0 1 | 0 |
z0 -z | 0 - z | -36 -14 -25 -50 0 0 0 | ||
0 | х5 | 27 | 1 2 2 0 1 0 -1 | |
0 | х6 | 173/5 | 4/5 23/5 -4/5 0 0 1 -2/5 | |
50 | х4 | 181/5 | 3/5 1/5 2/5 1 0 0 1/5 | |
z0 -z | 1810-z | -6 -4 -5 0 0 0 10 | ||
36 | х1 | 27 | 1 2 2 0 1 0 -1 | |
0 | х6 | 13 | 0 3 -12/5 0 -4/5 1 2/5 | все Dj ³0 |
50 | х4 | 20 | 0 -1/5 -4/5 1 -3/5 0 4/5 | |
z0 -z | 1972-z | 0 8 7 0 6 0 4 |
где представлены расширенные матрицы вспомогательных систем уравнений (22) ® (24) ® (25). Эти таблицы принято называть симплексными.
Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент D3 =7 при переменной х3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.
В заключение заметим, что в рассматриваемом простейшем примере линейной производственной задачи возможна самопроверка результата.
Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2 =0, х3 =0. Предположим, что вторую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:
|
Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы
(x1 =0, x4 =0) ® (x1 =0, x4 =) ® (x1 =27, x4 =20)
на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника (в случае трех переменных это будет "езда" по ребрам многогранника допустимых решений от одной вершины к другой до достижения оптимальной вершины).
§5. Двойственная задача
Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.
Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у1 , у2 , у3 мы можем согласиться с предложением П.
Величины у1 , у2 , у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.
Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1 , у2 , у3 наши затраты составят 4у1 + 2у2 + 3у3 , т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше
4у1 + 2у2 + 3у3 ³ 36.
Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. В ценах П эти затраты составят 3у1 + 5у2 + у3 , а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Поэтому перед предпринимателем П мы ставим условие
3у1 + 5у2 + у3 ³ 14
и т.д. по всем видам продукции.
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 208у1 + 107у2 + 181у3 рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1 , у2 , у3 , чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.
|
у (у1 , y2 , y3 )
минимизирующий общую оценку всех ресурсов
f = 208y1 + 107y2 +181y3 (1)
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции
|
3y1 + 5y2 + y3 ³ 14
4y1 + 2y3 ³ 25
5y1 + 2y2 + 5y3 ³ 50