Реферат: Расчет затвердевания плоской отливки

T_n = p_n T_m-1 + q_n (28 б)

T_i = f(A_i ; X_i ; t_k ) - сеточное решение.

A_i , B_i , C_i , D_i – известные коэффициенты, определенные их условий однозначности и дискретизации задачи.

Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое условие (28 а)

T_i = а_i+1 T_i+1 + b_i+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1(29)

A_{i +1} , b_{i +1} – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или коэффициенты разностной факторизации)

Запишем уравнение (29) с шагом назад:

T_i-1 = а_i T_i + b_i (30)

Подставим уравнение (30) в уравнение (27):

A_i (a_i T_i + b_i ) – B_i T_i + C_i T_i+1 + D_i = 0

Решение нужно получить в виде (29):

(31)

Найдем метод расчета прогоночныхкоэффициентов.

Сравним уравнение (29) и (31):

(32)

(33)

(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.

Процедура определения коэффициентов а_i+1 и b_{i +1} называется прямой прогонкой или прогонкой вперед.

Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Т_i+1 можно вычислить все Т_i .

Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть, чтобы вычислить все Т поля для любого t_k нужно вычислить процедуры прямой и обратной прогонки.

Чтобы определить начальные а₂ и b₂ , сравним уравнение (29) и уравнение (28 а):

a₂ = p₂ ; b₂ = q₂

Запишем уравнение 29 с шагом назад:

T_n = p_n T_n-1 + q_n

T_n-1 = q_n T_n + b_n

(34)

Новая задача определить p_n , q_n

Вывод расчетных формул:

Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)