Реферат: Расчёты на устойчивость

Радиус инерции сечения i_x = ml / l = 2×50/112,9 = 0,8857 см; сторона квадрата а = i_x /0,289 = 0,8857/0,289 = 3,06см; площадь сечения А = а² = 3,06² = = 9,36 см² . На данное сечение можно допустиь усилие:

j₁ s_adm A = 0,5×16кН/см² ×9,36см² = 74,9 кН < 80кН = F, т.е. сечение мало.

Пусть j₂ = 0.52; l = 110; i_x = 100/110 = 0,909см; а = 0,909/0,289 =

= 3,15см; А = 3,15² = 9,92 см² ; сечение воспринимает:

j₂ s_adm A = 0,52×16×9,92 = 82,5кН, что отличается лишь на 3%.

Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение, отличается от силы, действующей на стержень, не более чем на 5% в ту или другую сторону:

0,95F<js_adm A< 1,05F.

Округляя до более технологичного размера, примем а = 32мм. В последнем примере данных методических указаний мы покажем другой подход к организации попыток подбора, при котором образуется некоторый сходящийся итерационный процесс.

Энергетический способ определения критических сил. Изложенные выше подходы, применимы тогда, когда условия закрепления стержня и способы приложения нагрузки простейшие [1]. В более сложных случаях интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси стержня достаточно громоздко и целесообразно воспользоваться приближённым энергетическим способом. Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F (Рис.4). Стержень на рисунке условно показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях оставим пока открытым.

y

qD

v

F F x

z dz F_п

l

Рис.4

Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую малую поперечную силу F_п , то стержень изогнётся, но будет находится в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила Fсовершит при этом работу на перемещении D, которое можно найти следующим образом. Укорочение малого элемента длиной dzбудет равно:

dD = dz-dzCosq = dz(1 -Cosq) = 2dzSin² (q/2)» ½dzq² .

Учтём, что угол поворота равен первой производной от прогиба: q=v¢ , тогда перемещение точки приложения силы D найдётся:

_l

D= ½ ò(v¢)² dz .

⁰

Потенциальная энергия изогнутого стержня выразится

_l M² dz_l

U = ò¾¾¾¾ = ½ òEI_x (v¢¢)² dz , здесь учтено, что M = EI_x v¢¢

⁰ 2EI_x ⁰

Изменение полной энергии стержня при малом изгибе будет складываться из потенциальной энергии деформации и изменения потенциала внешних сил на перемещении D.

Э = U-F×D

Если Э > 0, то состояние стержня устойчиво. Если же Э < 0, т.е. F×D>U, то сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации. Избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше, т.е. состояние его неустойчиво. Очевидно, что критическому состоянию соответствует случай

F_cr ×D = U , или