Реферат: Расчёты на устойчивость

F_cr ×½ ò(v¢)² dz = ½×òEI_x (v¢¢)² dz , откуда получим:

^{0 0}

_l

ò EI_x (v¢¢)² dz

⁰

F_cr = ¾¾¾¾¾¾¾ (4)

_l

ò (v¢)² dz

⁰

Для получения величины критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси v = v(z), удовлетворяющей граничным условиям задачи. С математической точки зрения (4) является функционалом, т.е.отображением из множества функций определённого класса (дважды дифференцируемых и удовлетворяющих граничным условиям) в множество действительных чисел.

Пример 3. Найдём критическую силу для стержня, шарнирно опёртого

по обоим концам (Рис.5). Точное решение в этом

F случае известно: F_cr = p² EI_x / l² » 9,8696EI_x / l² .

Если задаться функцией v = C×Sin(pz/l), то

получим точное решение. Допустим, что мы

l этого не знаемем и попробуем аппроксимировать

z изогнутую ось полимиальной функцией. Возьмём

для начала полином второй степени:

Рис.5

v = Az² + Bz + C (5)

Запишем граничные условия: 1) при z = 0: v = 0; 2) при z = l: v = 0. Подставляя в (5), получим:

С = 0; Al² + Bl = 0 ÞB = -Al.

Дифференцируя (5) и учитывая полученные выражения для коэффициентов, имеем:

v¢ = A(2z – l); v¢¢ = 2A.

Подставив в (4), имеем:

_l

4A² ò dz

⁰