Реферат: Расчёты на устойчивость
l
A2 ò (2z – l )2 dz
0
Мы видим, что полученное значение критической силы отличается от точного решения, более чем на 20%.
Известно, что чем выше степень аппроксимирующего полинома, тем выше точность решения. Аппроксимируем иэогнутую ось стержня полиномом четвёртой степени:
v = Az4 + Bz3 + Cz2 + Dz + E (6)
1) при z = 0: v = 0;
2) при z = 0: M = EIx v¢¢=0Þv¢¢ = 0;
3) при z = l : v = 0;
4) при z = l : M = 0 Þ v¢¢ = 0.
Возьмём производные от (6):
v¢ = 4Az3 + 3Bz2 + 2Cz + D;
v¢¢ = 12Az2 + 6Bz + 2C.
Реализуем граничные условия, получив при этом систему из четырёх алгебраических уравнений.
1) Þ Е = 0; 2) Þ С = 0; 3) ÞAl4 + Bl3 + Dl = 0; 4) Þ 12Al2 + 6Bz =0 ÞB = - 2Al , подставляя это в предыдущее уравнение, имеем: D = Al3 .
Подставляя это в выражения для производных, получим:
v¢ = A(4z3 - 6lz2 + l3 ); v¢¢ = 12A(z2 – lz).
Подставив в (4),будем иметь:
l
144A2 EIx ò (z2 – lz)2 dz
0
Fcr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 168EIx / (17×l2 ) » 9,8824EIx / l2 .
l
A2 ò (4z3 – 6lz2 + l3 )2 dz
0
Как видим, полученное решение практически совпадает с точным. Обратим внимание на тот факт, что приближённые решения всегда дают завышенные значения критических сил. Это происходит по той причине, что в приближённом решении стержень - система с бесконечным числом степеней свободы, заменяется более жёсткой системой с конечным числом степеней свободы.
Пример 4. Найти критическую нагрузку для стержня, показанного на
Рис.6. В этом случае значение коэффициента
приведения длины неизвестно и нет возмож-