Реферат: Расширения полей

(с) фактор-кольцо P [ x ]/( g ) изоморфно кольцу P [ a ];

( d ) P [ x ]/( g ) является полем;

(е) кольцо P [ a ] совпадает с полем P ( a ).

Доказательство . Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие поли­номы j и h , что

g = jh, 1£deg j, deg h<deg g = n.

Тогда g ( a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над Pравна п.

Предположим, что f0 P[x]и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно про­стыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P [x]на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в тео­реме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из крат­ных полинома g,т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a].

Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целост­ности. Так как P@P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из Pобратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f . Так как f ¹ 0, то f (a)¹0; поэтому полином g не делит полином f . Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р[x]существуют такие полиномы u и v , что uf + vg =1. Отсюда вытекает равенство uf = 1 , показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо Pявляется полем.

В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5 . Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени n . Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комби­нации n элементов 1, a, ..., a^{n -1} с коэффициентами из Р.

Доказательство . Пусть b— любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P( a) = P [ a]; следовательно, существует в P [ x ] полином f такой, что

(1) b = f ( a ).

Пусть g — минимальныйполином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P [ x ] полиномы h иr такие, что

(2) f = gh + r, гдеr = 0 илиder r < der g = n , т. е. r=c₀ +c₁ x +…c_n-1 x^n-1 (c_i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c₀ +c₁ a +…c_n-1 a ^n-1

Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a^{n -1} . Пусть

(4) b = d₀ +d₁ a +…d_n-1 a ^n-1 (d_i 0 P)

—любое такое представление. Рассмотрим полином j

j = (с₀ – d ₀ ) + ( c ₁ - d_i .) x + . . . + ( с _n-1 –d_n-1 )x^n-1

Случай, когда степень j меньше n , невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g . Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с₀ = d ₀ , . . . , с _{n -1} = d _п-1. Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a^{n -1} .

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полино­мов P [x]и h(a)¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)P(a) в виде линейной комбинации степеней эле­мента a,т. е. в виде j(a),

где jP[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над Pи h(a) ¹ 0, то gне делит hи, значит, полиномы hи g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x]такие полиномы u и v , что

uh + vg =1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,uP[x] и f(a)u(a)P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателедроби

.