Реферат: Расширения полей

Следовательно, a_i является р^е -кратным корнем многочлена x^pe -b_i и

_m

f(x) = J( x -a_i ) р^е .

¹

Все корни многочлена f ( x ) имеют, таким образом, одну и ту же кратность р^е .

Степень m многочлена y называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня a_i ); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня a_i ) над полем D. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

n = m р^е ,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если q — корень неразложимого в кольце D[x] многочлена, обла­дающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D или элементом первого рода над D¹ ). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, назы­вается сепарабельным. В противном случае алгебраический эле­мент q и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементы которого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраи­ческое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совер­шенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение S = D (q). Когда степень n уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (S : D), редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля S в следующем смысле: рассмот­рим лишь такие изоморфизмы S@S', при которых элементы подполя D остаются неподвижными и, следовательно, S перево­дится в эквивалентное поле S' (изоморфизмы поля S над полем D) и при которых поле-образ S' лежит вместе с полем S внутри некоторого общего для них поля W. В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля W расширение S = D ( q ) имеет ровно m изоморфизмов над D и при любом выборе поля W поле S не может иметь более m таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над D должен пере­водить элемент q в сопряженный с ним элемент q' из W. Выбе­рем W так, чтобы f(x) разлагался над W на линейные множители; тогда окажется, что элемент q имеет ровно m сопряженных эле­ментов q,q', ... При этом, как бы ни выбиралось поле W, элемент q не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм D(q)@D(q') над D полностью определяется заданием соответствия q®q'. Действительно, если q переходит в q' и все элементы из D остаются на месте, то элемент

3a _k q^k (a_k 0D)

должен переходить в

3a _k qN^k

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если q — сепарабельный элемент, то m = n и, следо­вательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве W можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого W» во всех предложе­ниях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле W.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение S получается из D последовательным присоединением m

алгебраических элементов a ₁ , ..., a _m , причем каждое из a _i ,- является корнем

неразложимого над D ( a ₁ , ..., a _{i -1} ) уравнения редуцированной степени n ' _i , то

_m

расширение S имеет ровно Õn_i ¢ изоморфизмов над D и ни в одном

¹

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля S .

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S₁ = D(a₁ , ..., a_{m -1} ): в некотором подходящем расширении

_{m -1}

W₁ есть ровно Õn_i ¢ изоморфизмов поля S над D.

¹ _{m -1}