Реферат: Расширения полей

Элемент a_m удовлетворяет некоторому уравнению f₁ (x) = 0 над S₁ с n¢_m раз­личными корнями. С помощью изоморфизма S₁ ®S₁ многочлен f₁ (x) перево­дится в некоторый многочлен f₁ (x). Но тогда f₁ (x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢_m различных корней и не больше. Пусть a_m — один из этих корней. В силу выбора элемента a_m изоморфизм S₁ @S₁ продолжается до изоморфизма S (a_m ) @S (a_m ) с a_m ®a_m одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

åc_k a_m ^k ®å c_k a_m ^k

Так как выбор элемента a_m может быть осуществлен n'_m способами, существует n'_m продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å₁ ®å₁

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

_{m -1}

Õn'_i способами,

¹

то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

_{m-1 m}

Õ n'_i ×n'_m = Õ n'_i

^{1 1}

изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.

Если n_i — полная (нередуцированная) степень элемента a_i над D (a₁ ,...,a_{i -1} ), то n_i равно степени расширения D (a₁ , ... , a_i ) поля D(a₁ , ... , a_{i -1} );

следовательно, степень (S : D) равна

_m

Õn'_i .

¹

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

_m

Õn'_i .

¹

то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения S = D ( a ₁ , ... , a _m ) над D (в некотором подходящем расширении W ) равно степени ( S : D ) тогда и только тогда, когда каждый элемент a _i сепарабелен над полем D ( a ₁ , ... , a _{i -1} ). Если же хотя бы один элемент a _i несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента a_i быть сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от выбора порождающих элементов a_i . Так как произвольный элемент b поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент b оказывается сепарабельным, если все a_i являются таковыми. Итак:

Если к полю D последовательно присоединяются элементы a_i , ... ,a_n и каждый элемент a_i оказывается сепарабельным над полем, полученным присоеди­нением ?