Реферат: Расширения полей

(1) a₁ ,…,a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b₁ ,…,b_n — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁ b₁ +...+l_n b_n (l_k L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ik P).

Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем

d = å p_ik a_i b_k .

^{i {1,…,m}}

^{k {1,…,n}}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = {a_i b_k ½{1,..., m},k {l,..., n}}.

Отметим, что множество Bсостоит из nmэлементов.

Покажем, что Bесть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества Bлинейно независима. Пусть

(5) åc_ik a_i b_k = 0,

^{I , k}

где c_ik P. Так как система (2) линейно независима над L ,то из (5) следуют равенства

(6) с_{1 k} a ₁ +...+с_mk a_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁ , ..., a_m линейно независимы над P,то из (6) следуют равенства

c_1k = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов Bлинейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F, P] = nm= [F:L ]×[L : P ].Следовательно, Fявляется конечным расширением поля Pи имеет место формула (I).

Определение . Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P =L ₀ — L ₁ —…—L _k = F и k >1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L _i является простым алгебраическим расширением поля L _{i -1} .Число k назы­вается длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расшире­ние F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5 . Пусть a ₁ ,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁ ,..., a_k ) является конечным расширением поля P.

Доказательство . Пусть

L ₀ = P, L ₁ = P [a₁ ], L ₂ =P [a₁ , a₂ ,],..., L _k =P [a₁ ,..., a_k ].

Тогда L ₁ = P [a₁ ] есть простое алгебраическое расшире­ние поля L ₀ ; L ₂ есть простое алгебраическое расширение поля L ₁ , так как

L ₂ = P [a₁ ,a₂ ] = (P [a₁ ])[a₂ ] = L ₁ [a₂ ] = L ₁ (a₂ ) и т. д.

Таким образом,

P =L ₀ —L ₁ —…—L _k = F

где L _i = L _{i -1} (a_i ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле Fявляется составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конеч­ным расширением поля P .

Следствие 2.6 . Составное алгебраическое расшире­ние поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля .

Теорема 2.7 . Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство . Пусть P—L—F , причем L = P(a), F = L(b)и, следовательно, F = P(a, b).