Реферат: Расширения полей

или

a ⁶ -9 a ⁴ -4 a ³ +27 a ² -36 a -23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f ( x )= a ⁶ -9 a ⁴ -4 a ³ +27 a ² -36 a -23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9 . Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство . Пусть A[x]— кольцо полиномов от xнад полем Aалгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁ x +... + а_n хⁿ (а₀ ,…, а_n 0 A )

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L = Q(а₀ , ..., а_n ) и L (с) —простое алгебраическое расширение поля L с помощью с. Тогда Q—L—L (c ) есть конечное алгебраическое расширение поля L . По теореме 2.2, L есть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с )является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с )является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c 0A. Таким образом, любой полином из A[x]положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f ( x ) и f N ( x ) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f ( x ) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f ( x ) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '( x ) = 0.

Положим

_{n n}

f(x) =3a_n xⁿ f N (x) =3na_n x^{n -1}

^{0 1}

Так как f N ( x ) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

n a _n = 0 ( n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_n = 0 для всех n¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства na_n = 0 возможны и для n¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех a_n xⁿ , для которых nº0(p), т. е. f ( x ) должен иметь вид

f(x) = a₀ +a_p x^p +a_2p x^2p +…

Обратно : если f ( x ) имеет такой вид, то f N ( x )= 0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j (x^p ).

Тем самым доказано утверждение : В случае характеристики нуль неразложимый в D [ x ] многочлен f ( x ) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f ( x ) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от x^p .

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от x^p . Тогда f(x) является многочленом от x^{p 2} . Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = y ( x^pe ),

но не является многочленом от x^{pe +1} . Разумеется, многочлен y (у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y (у) имел бы вид c(у^р ) и, следовательно, f ( x ) представлялся бы в виде c(х^{p е+1} ), что противоречит предположению. Следовательно, y (у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: _m

y (y) = J(y-b_i ).

¹

Тогда

_m

f(x) = J( x^pe -b_i )

¹