Реферат: Расширения полей

a = a ₁ ,..., a _m — корни полинома f в C и

b = b ₁ ,..., b _n — корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i -a)/(b-b_k )½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконеч­ное), то в Pсуществует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М,cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g¹a_i +cb_k = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i +сb_k было бы

с = (a_i -a)/(b-b_k ) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h= f(g - cx) — полином из F₁ [x] (g, c0P(g) = F₁ ). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов hи gв кольце F₁ [x].Так как g(b) = 0, то x-b делит gв E[x].Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x - b делит полином h в E[x].Таким образом, x - b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k , k0{2 ,..., n},есть их общий корень. Тогда h(b_k ) = f(g - сb_k ) = 0. Сле­довательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m},что g = a_i +cb_k (k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий дели­тель gи h в E[x].Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наиболь­шим общим делителем g и hв кольце F₁ [x]. Поэтому

(x-b) 0F₁ [x] и b0F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb0F₁ . Таким образом,

F = P(a, b)Ì F₁ , F₁ ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над Pи F = P (g), то поле F =P (g)является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение . Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома поло­жительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8 . Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = + С, +, —, •, 1 , комплексных чисел. Алгебра A = + А, +, —, •, 1 , является полем, подполем поля E .

Доказательство . Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a , b )является алгебраическим над Q. Поэтому числа a + b , -а, ab , 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A . Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 0Q (a , b )и поэтому а ^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра Aесть поле, подполе поля E.

Определение . Поле A = + А, +, —, •, 1 , назы­вается полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a = является алгебраическим.

Решение. Из a = следует a -.

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

a ³ -3 a ² 9 a -3=2

или

a³ +9 a-2= 3( a ² +1).