Реферат: Расширения полей

Многочлены p ( x ) и g ( x )=- x ² + x +1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y , что

p j + g y =1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x³ -2 -x² +x+1 -x² +x+1 2x-1

x³ -x² -x -x-1 -x² +1/2x -1/2x+1/4

x² +x-2 1/2x+1

x² -x-1 1/2x-1/4

2 x -1 5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x² +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x² +1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y ( x )= (2/5 x ² +1/5 x +3/5).

Тогда

y ( a )= y ()=.

Следовательно

.

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l ½lP},,

где w_l - операция умножения элементов из Fнаскаляр lP.

Определение . Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [ F : P].

Предложение 2.1 . Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]= n .

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение . Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебра­ическим над P.

Теорема 2.2 . Любое конечное расширение F поля Pявляется алгебраическим над P.

Доказательство . Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из Fлинейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ , т. е. существуют в Pтакие элементы с₀ , с_1,…, c_n не все равные нулю, что с₀ ×1+ с_{1 a} +…+c_n aⁿ = 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля Pназывается составным, если существует

возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что

P =L ₀ — L ₁ —…—L _k = F и k >1.

Теорема 2.3 . Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

(I) [F : P]= [F :L ]@[L :P].