Реферат: Решение обратной задачи вихретокового контроля

78

1. Техническое задание

Разработать алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля (ВТК). Объектом контроля (ОК) являются проводящие немагнитные листы. Объекты контроля подвергаются термообработке (закалка, отпуск) или насыщению внешних слоев различными веществами, что приводит к изменению механических, а вследствие этого и электромагнитных свойств материала листа по глубине.

Задача заключается в определении, в рамках допустимой погрешности, зависимости электропроводности (ЭП) от глубины s(Н) в ОК для данного состояния. Метод контроля заключается в измерении определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС на различных частотах с помощью накладного вихретокового преобразователя (НВТП).

Необходимо выбрать математическую модель задачи, способ аппроксимации искомого решения, рассмотреть алгоритм решения.

Используя программную реализацию, исследовать поведение погрешности аппроксимации зависимости s(Н) от следующих факторов:

1. От величины приборной погрешности измерения ЭДС

2. От вида зависимости электропроводности от глубины s(Н)

3. От параметров аппроксимации решения

4. От диапазона частот возбуждения ВТП

2. Анализ технического задания.

Основная задача вихретокового контроля с помощью накладных преобразователей состоит из двух подзадач:

• Прямой задачи расчета вносимой ЭДС в присутствии немагнитного проводящего листа с произвольной зависимостью ЭП по глубине.

• Обратной задачи нахождения зависимости ЭП как функции глубины в немагнитном проводящем листе по результатам измерений определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС.

2.1 Прямая задача ВТК

Полагая зависимость ЭП от глубины известной проведем ее кусочно-постоянную аппроксимацию. Это позволяет свести исходную задачу к расчету ЭДС в многослойном листе, в каждом слое которого ЭП принимает постоянное значение.

Как показано в работе [50], подобная модель вполне адекватно описывает задачу и дает отличное согласование с результатами опытов.

Рекуррентные формулы для произвольного количества слоев хорошо известны [1-5,36, 42,43,50-52]. Таким образом решение прямой задачи в рамках принятой модели затруднений не вызывает.

2.2 Обратная задача ВТК

С математической точки зрения обратная задача ВТК относится к классу некорректных задач[49] и ее решение неустойчиво т.е. при сколь угодно малой погрешности исходных данных( набора измеренных вносимых ЭДС ) погрешность решения ( рассчитанных локальных значений ЭП ) может быть сколь угодно большой, а одному набору измерений может отвечать много (формально бесконечно много) распределений ЭП по глубине.

При попытке расчета некорректной задачи как корректной, вычислительный процесс за счет неустойчивости сваливается в заведомо худшую сторону. В нашем случае это означает получение распределения ЭП, которое, хотя и обеспечивает требуемое совпадение измеренной и вычисленной ЭДС, но является явно нереальным из-за осцилляций. Следует отметить, что амплитуда и частота осцилляций распределения ЭП растут при увеличении числа независимых параметров аппроксимации ЭП ( коэффициентов полинома в случае полиномиальной аппроксимации, количества узлов при сплайн-аппроксимации и т.д.).

При наличии погрешности измерения вносимой ЭДС, превышающей на несколько порядков вычислительную погрешность и на практике составляющей не менее (0.5-1)% от измеряемого сигнала, ситуация значительно осложняется.

Учитывая вышеизложенное для выделения из множества допустимых распределений решения, наиболее удовлетворяющего физической реальности, в алгоритмах решения обратной задачи необходимо использовать дополнительную априорную информацию. На практике это реализуется введением некоторых критериев, позволяющих отличить решение, отвечающее практике, от физически нереального.

Для решения обратной задачи ВТК предлагались три возможные стратегии[46]:

1. Решение большого числа прямых задач и табуляция результатов для различных моделей. Измеренные данные с помощью некоторых критериев сравниваются с таблицей. Подход очень экстенсивный и требующий проведения избыточного числа расчетов, поэтому на практике встречающийся редко.

2. Условная минимизация невязки измеренных и расчитанных данных. Очень мощный и универсальный метод, широко распространен для решения обратных задач в различных областях техники [41,44,49]. Позволяет восстанавливать произвольное распределение ЭП по глубине (вообще говоря произвольное 3D распределение), но требуется довольно сложная процедура расчета.

3. Аналитическое инвертирование ядра оператора и использование алгоритма, зависящего от ядра уравнения[46]. Потенциально самый малозатратный метод, однако как и все аналитические, применим далеко не всегда.

В нашем случае остановимся на втором подходе, поскольку он сочетает в себе универсальность, точность и относительную простоту реализации.

В целом процесс решения обратной задачи сводится к итерационному решению прямой задачи для текущей оценки распределения ЭП и внесению изменений в эту оценку в соответствии с величиной невязки.