Реферат: Решение обратной задачи вихретокового контроля

( 2.4.5)

Предположим, что для решения обратной задачи используется итерационный алгоритм типа метода спуска: vⁿ(r)= v^n-1(r)+a sⁿ(r). Можно показать, что в случае метода наискорейшего спуска итерация имеет вид: vⁿ(r)= v^n-1(r)-aЧСF[ v^n-1(r) ], где градиент функционала СF[v] можно определить как :

( 2.4.6)

где Re обозначает вещественную часть, * обозначает комплексную сопряженность.

Требуемый в (2.4.6) градиент импеданса можно определить как:

СZ(r) = -s0ЧE(r)ЧE*(r)

( 2.4.7)

где E^*(r) - решение уравнения

( 2.4.8)

С. Аппроксимация при решении обратной задачи

Пусть электропроводность моделируется с помощью конечного числа переменных (например узловых значений некоторой аппроксимации), а вектор р состоит из этих переменных. Тогда выражение (2.4.7) принимает вид:

( 2.4.9)

где (СZ)_j - j-ая компонента градиента импеданса.

Значение j-ой компоненты градиента невязки (2.4.6) можно представить как:

( 2.4.10)

Следует обратить внимание на то, что в случае дискретного пространства М (конечное число измерений) интеграл в (2.4.10) заменяется суммой.

С учетом приведенных преобразований итерация метода наискорейшего спуска принимает вид:

pjn = pjn-1 - aЧ(СFn-1)j

( 2.4.11)

где n - номер итерации.

D. Пример применения

В качестве примера рассмотрим функцию v(r) в виде v(r)=Sc_iЧf_i(r), i=1,N , где f_i(r) - множество линейно независимых базовых функций с коэффициентами c_i. Рассматривая коэффициенты c_i в роли параметров аппроксимации (c_i=p_i ) получим из (2.4.9) для компонентов градиента импеданса:

( 2.4.12)

В случае проводящего ОК, состоящего из N параллельных слоев с проводимостью s_j распределение электропроводности по глубине можно представить с помощью функций Хевисайда H(z) как s(z)=S s_jЧ[ H( z-z_j ) - H( z-z_j+1 ) ].