Реферат: Ряды Фурье и их приложения

т. е. последовательность функций {f_n (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ₁ , ƒ₂ , ƒ₃ ,… (принадлежащих ) построим ряд

ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +… (12)

Сумма первых его n членов

σ _n = ƒ₁ + ƒ₂ + … + ƒ_n

есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σ_n || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут

ƒ = ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +…

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ₁ (x) + iƒ₂ (x), где ƒ₁ (x) и ƒ₂ (x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ₁ (x) + iƒ₂ (x) и φ(х) = φ₁ (х) +i φ₂ (х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина

2.1. Интегралы от периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х₀ , х₀ +Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х₀ одной и той же: для любых х₀ , х₀ '

.

2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций.

Укажем значения некоторых интегралов:

(k = 1,2,…), (13)

(k =1,2,..; m =1,2,…), (14)

(15)

(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),

(k =1,2,…) (16)

Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье a_k и b_k ряда (2). Для разыскания коэффициента a_n при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:

(17)

(18)

Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).