Реферат: Ряды Фурье и их приложения

Таким образом, получаем ряд:

.

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом:

ƒ(x) = -1 при –π < x < 0,

ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π.

Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:

,

(Нарисовать: рис. 377 , стр. 334 , Пискунов)

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

, каково бы ни было число λ.

Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d:

.

В частности, принимая с = - π, d = λ, получим:

поэтому

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить

(20)

где λ – любое число.

Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.