Реферат: Ряды Фурье и их приложения

В уравнениях (29), (30) и (31) искомая функция u зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l . Предположим, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l . Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М₁ М₂ равняется её проекции на ось Ох, т. е. М₁ М₂ = х₂ – х₁ . Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ^′ . На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т.

(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)

Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ^′ , будет равна T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:

T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂² u / ∂t² . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на ∆х и обозначая a² = T/ ρ, получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям , указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям , описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:

u (0, t) = 0, (36)

u (ℓ, t) = 0. (36^, )

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть

u (x, 0) = u |_{t = 0} = ƒ(x). (37)

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х):