Реферат: Ряды Фурье и их приложения

Возвратимся к старой переменной x:

Тогда будем иметь:

(24)

Формула (23) получит вид

, (25)

где коэффициенты a_0, a_k, b_k вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l .

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2 l , которая на отрезке [-l , l ] задается равенством ƒ(x) = | x |.

(Пискунов, стр. 342, рис. 383 )

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ₁ (x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ₁ (x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l ]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l , 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l ] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l ] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.

Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:

,