Реферат: Шар и сфера

и, следовательно, площадь сечения ab равна

; (2.3.2)

с другой стороны, площадь круга а'b'

(2.3.3)

а так как, очевидно, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'

(2.3.4)

Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна

(2.3.5)

Замечая далее, что объем цилиндра равен , а объем конуса , мы получаем для объема полусферы величину , а для объема всей сферы

(2.3.6)

2.4. Интегральное исчисление. Понятие интеграла.

Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчисле­нием.

Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.

С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.

Понятие об интеграле.

Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением

,

и надо найти площадь «криволинейной трапеции» aABb.

Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Её площадь равна

(2.4.1)

Если ввести обозначения

(2.4.2)

то формула 1 имеет вид

(2.4.3)

Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n. Лейбниц ввел для этого предела обозначение

(2.4.4)

в котором (курсивное s) — началь­ная буква слова summa (сумма), а вы­ражение уdx указывает типичную форму отдельных слагаемых.