Реферат: Шар и сфера

. (2.7.4)

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

, (2.7.5)

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h ( на рисунке 12 h=AB), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

. (2.7.6)

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при . Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при , получим

. (2.7.7)

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.

2.8. Шаровой слой. Объём шарового слоя.

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями(рис. 13). Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.

2.9. Шаровой сектор. Объём шарового сектора.

Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара (рис. 14). Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты R-h. Шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Ее радиус равен

. (2.8.1)

Плоскость этой окружности и разбивает сектор на две указанные части. Для объёма сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объёмы сегмента и конуса:

Если - угол между осью и образующей конуса, то

(2.8.3)

и формула для объёма сектора примет вид

. (2.8.4)

Предлагается решить пару интересных задач на изложенный выше материал.

Задача 1. Найти объём сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при её продолжении).

Решение. Диагональ куба, вписанного в шар, является диаметром шара. Отсюда имеем для ребра куба , (рис. 15). Стрелка сегмента, объём которого мы должны определить, равна

и по формуле для объёма сегмента находим

.

Ответ: V_сегм=.

Задача 2. Найти объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным а (рис. 16).

Решение. В этой, как и в других аналогичных задачах, полезно использовать общее замечание, относящееся к вычисле­нию радиуса шара, вписанного в выпуклый многогранник (т. е. касающегося каждой из граней). Представим себе, что в центре шара мы поместим вершину ряда пирамид, основаниями которых будут грани многогранника. Радиус шара будет служить высотой каждой из этих пирамид. Тогда объем многогранника V можно вычислить как сумму объемов указанных пирамид; объем каж­дой из них будет равен одной трети произведения ее высоты (т. е. радиуса вписанного в многогранник шара) на площадь ее основания (т. е. на площадь соответствующей грани многогран­ника). Сумма объемов пирамид будет равна одной трети произ­ведения радиуса вписанного шара на полную поверхность мно­гогранника: . В нашем случае площадь основания пирамиды (рис. 16)