Реферат: Шар и сфера

площадь одной из боковых граней

;

полная площадь поверхности пирамиды

.

Высота пирамиды MM0, как катет треугольника MM0K, равна

.

Объём пирамиды

.

Для радиуса вписанного шара находим

; .

Ответ: .


2.10. Площадь поверхности шара.

Здесь даётся очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интеграль­ного исчисления. Итак, пусть дан неко­торый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 17) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим осно­ванием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, на пример, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере). Тогда, обозначая через площадь этого участка—основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети вы­соты на площадь основания (высотой служит радиус шара):

. (2.10.1)

Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара—на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой

, (2.10.2)

где последняя сумма равна полной поверхности шара:

. (2.10.3)

Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу


, (1.10.4) или . (2.10.5)

Последний результат формулируется так:

Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.

2.11. Площадь поверхности сектора шара.

Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. Сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 14). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:

, (2.11.1)

откуда находим для площади шапочки формулу

. (2.11.2)

2.12. Площадь поверхности шарового пояса.

Шаровым поясом (см. рис. 13) называют сферическую поверх­ность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сфери­ческих шапочек:

К-во Просмотров: 2735
Бесплатно скачать Реферат: Шар и сфера