Реферат: Шпора 2 по мат анализу

R .

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

,

,

,

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f '(х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f (х) возрастает (т.е. f '(х) >0), а после точки х₀ убывает (т.е. f '(х) <0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f '(х) >0 при х< х₀ и f '(х) <0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f '(х) <0 при х< х₀ и f '(х) >0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀ , в том числе и в самой точке х₀ , существует первая производная f '(х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f ''(х₀ ). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f ''(х₀ )=0. Посмотрим теперь на f ''(х) как на первую производную от функции

Допустим, что f ''(х₀ ) >0. Это означает, что f '(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f '(х₀ )=0, поэтому возрастание f '(х₀ )<0, при х < х₀ и f '(х₀ )>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f ''(х₀ ) <0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f '(х₀ )=0, а f ''(х₀ ) <0, то функция y = f ( x ) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f '(х₀ )=0, а f ''(х₀ ) >0, то функция y = f ( x ) имеет локальный минимум в точке х₀ .

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой функции , определяемой уравнением . В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частная производная по непрерывны в , . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция , задаваемая уравнением , так, что в этой окрестности .

Неявная функция многих переменных . Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции . При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: .

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf (x ) dx )¢ =f (x );

2) òf ¢ (x ) dx = f (x )+C ;

3) d òf (x ) dx= f (x )dx ;

4) òd f (x )=f (x )+C ;

5) òkf (x )dx=k òf (x ) dx ;