Реферат: Шпора 2 по мат анализу

37.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полжительными членами. и Причем, каждый член ряда не превосходит соответствующего члена ряда , то есть для всех . Тогда

· если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами;

· если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с большими членами.

Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех , а лишь начиная с некоторого номера .

При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией , которая сходится при и расходится при , или с рядом , который сходится при и расходится при .

38.Признак Даламбера.

Пусть l - предел отношения последующего члена u_n+1 ряда (1) к предидущему u_n при n ®¥ , т.е.

Тогда,
если l < 1, то ряд l сходится,
если l > 1, то ряд l расходится,
Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.
Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n , выполняются неравенства

где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.
Рассмотрим три случая:
а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + e < 1

и, начиная с некоторого n , неравенство

где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;
б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы

e = l - 1 > 0

Тогда l - e = 1 и

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)
в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящи