Реферат: Шпора 2 по мат анализу

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,

Док-во : В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.

2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда

Док-во : Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во :

на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2^му

4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то

5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:

6. Пусть интегрируема на , , то существует М , такая что

25.Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о его непрерывности .

Теорма: Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х Î [ a , b ]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x ₀ x х+∆х b

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства: