Реферат: Шпора 2

Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Р_i , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (x_I ;h_I ) Î Р_i , l - наиболь-ший диаметр чатичных обл.

Построим частичную сумму – сумму Римена.

Определение:

Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (x_I ;h_I ) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:

В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:

Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.

Св-ва двойного интеграла:

1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная.

2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.

3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.

4.Сумма Дарбу:

Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р₁ иР₂ не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.

6.Линейность:

7.Если f(x;y) £ g(x;y) для "(x;y)ÎP и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:

9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m £ f(x;y) £ M, то справедливо следующее неравенство:

10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) – ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m £ f(x;y) £ M, где

то существует число m такое, что справедливо равенство:

В случае непрырывности ф-ции:

Вопрос №3

Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=j₁ (x) a £ x £ a – снизу;

y=j₂ (x) a £ x £ b – сверху; x = a – слева; x = b – справа;

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл

для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл

то тогда существует повторный интеграл

Доказательство:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--