Реферат: Шпора 2

9.Параметрические ур-я поа-ти, касательная плос-ть, нормаль, направляющие косинусы нормали.

Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями :x=x(U,V) ; y=y(U,V); z=z(U,V) и функции x,y,z непрерывны и имеют непрерывные частные произвольные. Рассмотрим матрицу

На поверхности берём точки U₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ ) которая является образом (U₀ ,V₀ ) . Можно показать, что в этом случае уравнение касательной к плоскости поверхности имеет вид А(x-x₀ )+B(y-y₀ )+C(z-z₀ )=0 .Уравнение нормали поверхности . Далее введём направляющую. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями и

l- угол образованный нормалью с направлением осью X

m- угол образованный нормалью с направлением осью Y

n- угол образованный нормалью с направлением осью Z,

cos l cos m cos n - называют направляющими косинусами нормали. Для направляющих косинусов нормали имеет место формула:

, , . В знаменатели стоит двойной знак ± и всякий раз выбирают один из знаков в зависимости от направления нормали. В случае явного задания поверхности направляющие вычисляются , , .

Билет 12

Задача о вычислении массы пространств-го тела.

Пусть в трехмерном пространстве задано тело D, причем в точках этого тела определены некоторые массы и известна плотность распределения массы, кот. явл-ся ф-цией трех переменных U=R(x,y,z). Разобьем это прост-ное тело некоторыми гладкими пов-ми на конечное число областей D_1, D₂ ,…,D_n . В каждой области D_i произвол. выберем некот. точку (x,h,e)Î D_i . Плотность массы в этой точке – это R(x_i ,h_i ,e_i ). Будем считать, что ф-ция R явл-ся непрерывной, а разбиение достат. мелким так, что значения ф-ции внутри области D_i не слишком отличаються от значений ф-ции R в выбранной точке. Т.е. будем считать, что в области D_i плотность массы одна и та же и равна числу R(x_i ,h_i ,e_i ). Тогда очевидно масса, заключенная в обл. D_i , будет равняться R(x_i ,h_i ,e_i ) * DV. Тогда приближенное значение массы для всей области равна S R(x_i ,h_i ,e_i )*DV_i Пусть l - наибольший из диаметров D_i – тых областей, а тогда масса , заключенная в области равна m=lim(l®0) S R(x_i ,h_i ,e_i ) * DV_i

Пусть теперь задано пространств. тело D. В точках этого тела определена ф-ция U=f(x,y,z). Разобьем это тело на конечное число D_i –тых (i=1,2,3,…). В каждой области D_i выберем произвол. точку (x_i ,y_i ,z_i ) и составим интегральную

s_n =S ò(x_i ,y_i ,z_i ) * DV_i Если сущ. предел и он конечный и он не зависит от способа деления обл. D на части и выбора точек (x_i ,y_i ,z_i ) , то этот предел называют тройным интегралом по обл.D от ф-ции f(x,y,z) lim(l®0)s_n =òòò f(x,y,z)dx dy dz Следовательно m=òòòR(x,y,z)dxdydz

Св-ва тройного интеграла аналогично св-м двойного интеграла 1) Всякая интегрируемая в обл. D ф-ция ограничена в этой области.

2) Могут быть построены суммы Дарбу

верх S_t =S M_i * DV_i низ s_t =S m_i * DV_i

3) Необходимо и достаточное условие сущ. интеграла

lim(l®0)( S_t -s_t )=0

4) Как и в случае двойного интеграла сущ. тройной интеграл от любой непрерывной ф-ции, заданной в обл. D. Однако тройной интеграл сущ. и в случае, когда ф-ция f(x,y,z) имеет разрывы 1-го рода на конечном числе пов-тей данного тела D.

5)Тройной интеграл обладает св-вами линейности и аддетивности

òòò_D fdx = òòò_{D 1} fdx + òòò_{D 2} , где D=D1ÇD2

6)Если сущ. тройной интеграл от ф-ции f, то сущ. интеграл по модулю

и существует равенство

ôòòòô£ òòòôfôdv

Если функция fв области D ограничена какими-то числами m £ f £ М , то для тройного интеграла справидливо неравенство

mV_d £òòò ¦dv£M V_D

7) Имеет место теорема о среднем , т.е. если функция ¦(x,y,z) не-прерывная в области D , то справедливо равенство

òòò ¦dv = ¦ (X₀ , Y_o , Z₀ ) (X₀ , Y_o , Z₀ )ÎD

Ввычесление тройного интеграла по параллепипеду .