Реферат: Шпора 2

n n n

d _n =å S_Ti =å S_Di / ïcos n _i ï=å (1/ïcos n_i ï)*S_Di .

i=1 i=1 i=1

Получили, что данная сумма является суммой Римена для такого двойного интеграла:

òò (1/ïcos nï)dx dy.

D

Получили , что площадь поверхности Q , заданной явным уравнением , вычисляется по такой формуле :

S_Q =òò (1/ïcos nï)dx dy.

D

Если поверхность задана явным уравнением , то

cos n=1/±Ö (1+p² +q² n)=1/Ö(1+z_x '² +z_y '² ).

В случае явного задания поверхности

S_Q =òòÖ(1+z_x '² +z_y '² )dx dy =òòÖ(1+p² +q² )dx dy

D D

Если теперь поверхность Q задана параметрическими уравнениями

x=x(u,v)

y=y(u,v) (u,v)єG ,

z=z(u,v)

где функции x,y,z непрерывны со своими частными производными, то в этом случае площадь поверхности вычисляется по следующей формуле

₆ S_Q =òòÖ(A² +B² +C² ) du dv,

где А,B,C-есть раннее введенные функциональные определители.

8.Касательная пл-ть к пов-ти и её ур-е в случае явного и не явного задания пов-ти.

1) не явное . Пусть поверхность задаётся не явным уравнением F(x,y,z)=0. Эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные.

Здесь рисунок.

Зафиксируем любую точку M₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ ). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где . Предположим что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t . Пусть т. M₀ соответствует значению параметра t=t₀ x₀ =x(t₀ ) y₀ =y(t₀ ) z₀ =z(t₀ ). Т.е. M₀ (x(t₀ ),y(t₀ ),z(t₀ ))=M₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ ) , т.к. кривая Г лежит на пов-ти, то она удовлетворяет уравнению поверхности т.е. F(x(t),y(t),z(t)) 0, берём производную . Посмотрим это рав-во в т.M₀ т.е. t=t₀ получим ; Введём обозначение через , а через , а так как то проведём через точку М₀ любую кривую. из рассмотренных равенств заметим, что любые кривые на пов-ти, кот-е являются непрерывными , всегда будет выполнятся рав-во , а это рав-во показывает что вектор будет ортогонален к любому касательному вектору , кот-й проходит через эту точку М₀ , значить все касательные s лежат в одной плос-ти перпендикулярно к . Эту плос-ть состоящую из касательных векторов называют касательной плоскостью к поверхности в т. М₀ , а вектор наз нормальным вектором плоскости в т. М₀ . в случае не явно. Прямая проходящая через т. М₀ и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности называют нормалью поверхности. Но тогда ур-е прямой поверхности проходящую через т. М₀ : .

2) явно . пусть пов-ть задаётся явным ур-ем z=f(x,y), где (x,y)D f - ф-ция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. ; ;

z-f(x,y)=0; F(x,y,z);

;;

;