Реферат: Шпора 2

Обозначим через Gи D прямоугольника D[ c , d; e, f] и [a,b;c,d] . Тогда если существует тройной интеграл по параллепипеду от функции ¦(x,y,z) и существует для любого x из [a,b] двойной интеграл по прямоугольнику D

òò ¦(x,y,z)dydz то существует

òòò¦dv [N1] =òdxòò¦(x,y,z)dydz

Если для " zÎ[e,f] $ òò ¦(x,y,z)dxdy,то òòò ¦dv = òdxòò¦(x,y,z)dydz = òòdxdyò¦(x,y,z) . Если функция ¦(x,y,z) непрерывна в области D,т.е. на параллепипеде , то все указаные ранее интеграмы существует и имеет

место вся большая формула и в последнемравенстве можно менять местами в случае непрерывности функции.

2. Пусть ¦(x,y,z) задана в пространстве области G причем область G сверху ограниченная плоскостью z=z₂ (x,y) снизу z=z₁ (x,y),a c боков ограничена цилиндрической поверхностью образующая которой ½½OZ. И пусть проекция этого тела на плоскость XOY есть некотокая область D .Тогда можно показать ,что тройной интеграл по пространственной области G может быть вычеслен по такой формуле

Продолжение №12

Если теперь обл. D будет иметь следующее строение. Пусть обл. D, кот. явл. проэкцией тела на пл-ть XOY, ограничена следующими линиями: отрезками прямых x=a и x=b , и кривыми y=j₁ (x) и y=j₂ (x). Тогда тройной интеграл:

Вопрос №10

Пусть в пространстве задана поверхность Q, которая является гладкой и задана явным уравнением z = f(x;y), где (x;y)ЄD.

D является проэкцией поверхности Q на плоскость xoy. Будем считать f(x,y) – непрерывная со своими частными производными

P=òz / òx =òf / òx q=òz / òy =òf / òy

Требуется вычислить площадь S заданной поверхности. Разобьем область D непрерывными кривыми на конечное число частичных областей D₁ ,D₂ ,…,Dn. Возьмем в области Di т.(xi;yi) и построим цилиндрическое тело, в основании которого лежит область Di , а образующие параллельны оси oz. Это цилиндрическое тело вырежет на нашей поверхности Q некоторую i-тую площадку. Обозначим через Mi (xi;yi;zi) точку на i-той частичной поверхности такую, что zi=f(xi;yi), т.е. Mi(xi;yi;z (xi;yi)). Так как частные производные p,q-непрерывны, то поверхность является гладкой и в каждой точке этой поверхности существует касательная плоскость. Проведем теперь касательную плоскость к поверхности в точке Mi. Построенное тело на обл. Di на этой плоскости Т вырежит некоторую площадку Ti. Eе площадь S_Ti дает некоторое приближение для площади куска поверхности, который вырезается этом цилиндрическим телом. Аналогичным образом поступим с остальными областями D₁ ,D₂ ,…,Dn. В результате мы получим некоторое приближение для площади всей заданной поверхности. Пусть

n

d _n =å S_Ti

i=1

А тогда принято считать, что площадью поверхности является

n

S=lim d _n =lim å S_Ti ,

l®0 l®0 i=1

где l - наибольший из диаметров площадей Di.

Нетрудно показать, что такой предел будет равен

S=lim dn=òò (1/½cos n½)dx dy,

l®0 D

где n - угол, образованный нормалью к поверхности с осью oz.

Доказательство :

Через ni обозначим угол, который образует касательную плоскость с плоскостью xoy. В точке Mi проводим нормаль к поверхности. Получаем, что угол, образованный касательной плоскостью с плоскостью xoy равен углу, образованному нормалью к поверхности с осью oz. Площадь Di есть проекция плоскости T_i , которая лежит на касательной плоскости. А тогда S_Di =S_Ti *½cos n_i ½.