Реферат: Шпоры по математическому анализу

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у= f (х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у= f (х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿ y )По определению dⁿ y= d(d^n-1 y) . Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿ y=f⁽ⁿ⁾ (х)dxⁿ , в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾ (х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля : ???? ??????? у= f (х) ?????????? ?? ????????? ?????????? [a,b], ??????????????? ???? ?? ? ???????? ?????????? (a,b) ? ?? ?????? ???????????? ???????? ????????? f(a)=f(b) , ?? ?????? ?????????? ???????? ????? ????? x=c, ??? f'(c)=0

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f (х)= f(a)=f(b) , то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х₁ и х₂ на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m =М , следовательно, функция f (х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х₁ , т.е. a< х₁ <b , тогда х₁ является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'( х₁ ) . Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'( х₁ ) =0, следовательно,

х₁ можно принять за точку с .

2. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

Опр-ие: Функция у= f (х) имеет в точке x₀ локальный максимум , если сущ-ет окрестность (х₀ - d , х₀ + d ), для всех точек х которой выполняется неравенство f (х) £ f (х₀ ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f (х) ³ f (х₀ ).

Теорема Ферма : Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'( х₀ ) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀ . Пусть (х₀ - d , х₀ + d ) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

????? ???????? ??? 1 ? 2 ????????, ?? | ∆?| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

??? ∆?<0, ????? ∆y:∆x ≥0, ???????

По условию теоремы, существует производная f'( х₀ ) А это означает, что правая производная f_пр '( х₀ ) и левая производная f_л '( х₀ ) равны между собой: f_пр '( х₀ )= f_л '( х₀ )= f'( х₀ ). Таким образом, с одной стороны, f'( х₀ )≤0, с другой стороны, f'( х₀ )≥0, что возможно лишь, когда f'( х₀ )=0.

4. Теорема Коши .

Теорема Коши: ????? ??????? у= f (х) и у= g (х) ?????????? ?? ??????? [a,b],??????????????? ???? ?? ? ???????? ?????????? (a,b) ? ?? ???? ?????????? g'( х ) ?? ?????????? ? ????. ????? ?????????? ????? ????? c Î (a,b), ??? ??????????? ????????? (1)
??????????????: ??????? ???????, ??? ??????????? g(b)-g(a) ≠ 0 ,?.?. ?? ????????? g(b)=g(a) ????????? ?? ?? ??????? ?????, ??? ??????????? g'( х ) ?????????? ?? ? ???? ? ?????-?????? ????? ?????????? (a,b), ??? ???????????? ??????? g'( х )≠0 . ???????? ??????????????? ???????:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка cÎ (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)

5. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Если функция у= f (х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале(a,b) то существует такая точка c Î (a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) .

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)¹0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1, получим, (2)

??? ????? ?-?????, ???????????? ? ???? ??????? ???? ? ????????? (a,b). ??????? ??? ????? ?? b-a, ?????? ? ??????? (2).

6. Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--