Реферат: Шпоры по математическому анализу

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка сÎ(x,a), что выполняется равенство(5)

Так как f(a)=g(a)=0. При х®а будет с®а, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при х®а, получим

Или, что то же самое (4).

7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Опр-ие: Функция у= f (х) имеет в точке x₀ локальный максимум , если сущ-ет окрестность (х₀ - d , х₀ + d ), для всех точек х которой выполняется неравенство f (х) £ f (х₀ ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f (х) ³ f (х₀ ).

Теорема Ферма : Если функция у= f (х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'( х₀ ) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀ . Пусть (х₀ - d , х₀ + d ) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

????? ???????? ??? 1 ? 2 ????????, ?? | ∆?| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'( х₀ ) А это означает, что правая производная f_пр '( х₀ ) и левая производная f_л '( х₀ ) равны между собой: f_пр '( х₀ )= f_л '( х₀ )= f'( х₀ ). Таким образом, с одной стороны, f'( х₀ )≤0, с другой стороны, f'( х₀ )≥0, что возможно лишь, когда f'( х₀ )=0.

Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f' (х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f (х) возрастает (т.е. f' (х) >0), а после точки х₀ убывает (т.е. f' (х) <0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f' (х) >0 при х< х₀ и f' (х) <0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f' (х) <0 при х< х₀ и f' (х) >0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀ , в том числе и в самой точке х₀ , существует первая производная f' (х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f''( х₀ ). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''( х₀ )=0. Посмотрим теперь на f''( х ) как на первую производную от функции

Допустим, что f''( х₀ ) >0. Это означает, что f' (х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f'( х₀ )=0, поэтому возрастание f'( х₀ )<0, при х < х₀ и f'( х₀ )>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f''( х₀ ) <0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f'( х₀ )=0, а f''( х₀ ) <0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f'( х₀ )=0, а f''( х₀ ) >0, то функцияy=f(x) имеет локальный минимум в точке х₀ .

11. Формула Тейлора и Маклорена .

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х₀ существует непрерывная производная f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) , и значения х принадлежат этой окрестности. Через R_n обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х₀ и х .

При х₀ =0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у= f (х) , непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума ( x₂ , x₃ , x₄ , x₅ ,) , либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х₁ , x₂ , x₃ , x₄ , x₅ ,) . Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х₁ , где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.

Нахождение вертикальных ас:

Ищутся конечные значения х=а, при которых

Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.