Реферат: Шпоры по математическому анализу
По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)
Доказательство: Дадим аргументу х приращение
∆х так, чтобы х+∆х Î (a,b) . Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой
 |
 |
? ???????? ??????? ? ??????? ???????? ( ???? ??????? y=f(x) ?????????? ?? ??????? [a,b], ?? ???????? ????? ????? ξÎ (a,b), ??? ??????????? ?????????:
Теорема верна и при b<a.) получим:
Число x заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.
Перейдем к вычислению производной F'(x).
Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).
Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.
 |
?????????????, ????????????? ??? ????? ??????? ???????? ???????
Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:
25. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
( в качестве числа х0 взято число а).
 |
? ???? ????????? ??????? ?=? ? ??????? ,
Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:
Заменяя здесь хна b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:
26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.
|
? ????? ????? ???????? ??????? ???????-????????:
 |
???????:
Получим формулу интегрирования по частям:
27. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)
