Реферат: Шпоры по математическому анализу
Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ сохраняет постоянное значение, α=φ . Из ∆ KLM KM=MLּ cos α. Поэтому KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b) , следовательно (1):
Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:
При x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда: 
 |
?????
Поэтому
Следовательно (получаем (2)),
Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)
Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0 асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).
13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.
Определение: Функция F( x) называется первообразной для функции f(x) на интервале ( a,b) , если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).
Теорема: Если F1 (x) иF2 (x) - первообразные для одной и той же функции f(x) , то их разность есть величина постоянная.
Докозательство: По условию F'1 (x)=F'2 (x)=f(x) обозначим:Ф (x)= F1 (x) - F2 (x) . Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F1 (x) иF2 (x) . Для любых х1 , x2 ,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х1 ) -Ф(х2 ) =Ф '(c)(b-a) . ноФ '(c)=0 , т.к. сÎ(a,b), следовательно Ф(х1 )= Ф(х2 ) . Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F1 (x) - F2 (x) =С.
Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.
14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы .
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx , где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.
Из определения вытекает, что
И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx . С другой стороны, ∫ F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C .
Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C , где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:
1. ∫ А f(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫ [f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.
Исследование функции y=f(x) проводится по плану:
1. Находится ООФ.
2. Вычисляются нули функции y=f(x) , т.е. значения х1 , x2 … , при которых f(x1 )=0 , f(x2 )=0 …Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0 и f(x)<0 .
3. вычисляются производная f'(x) и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0 , функция возрастает, где f'(x)<0 - убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.