Реферат: Шпоры по математическому анализу

5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b<a.

Доказательство: Проведем его для случая a<b. Пусть m и M - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] (для непревной функции они существуют по теореме Вейерштраса). По следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства: (на этом следствие из теоремы закончилось, но к нему относится ниже написанное неравенство))

можно записать

??????? ??? ??????????? ?? ???????????? ????? b-a, ???????:

Непрерывная функция f(x) принимает всякое значение промежуточное между наименьшим m и наибольшим M значениями. Поэтому существует такое число x(a<x<b), что

Чтд.

22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле .

интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:

Сделаем произвольное разбиение R отрезка [a,b]. На любом частичном отрезке [x_i , x_i+1 ] найдетсяи как рациональная точка x_i .Так, и иррациональная точка h_i .Составим две интегральные суммы:s_R и

Пусть

??? l_R →0 ?????? ???????????? ???? ???? :s_R ????? b-a, ? ?? ?????, ??? ???
????? ????. ????, ??? ???????????? ???? ??????? ???? ??????? ?????????? ?????????, ????????? ?? ?????? ????? ?? ???????? [x_i , x_i+1 ]. ??? ????????, ??? ??????? ??????? ?? ?????????????.

З класса функции:

1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].

2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

3. Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности .

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х Î [a,b] . Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x₀ x х+∆х b

???????:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

?(?? ???? ??????? ???????????, ?? ??????????? ????????? ? ???.) ? ????????? ?? ??????? (???? ?? ??????? [a,b] ??????? f(x) ???????????? ? ????????????? ??????????? m£f(x)£M. ?? ??????????? ???????????:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆ F→0 . Это доказывает непрерывность функции F(x) . Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла