Реферат: Шпоры по математическому анализу

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

??????????????: ??? ????? ?????????????? ????? ? ?????? ????? ????????? (1) ?????????? ? ?????????? ????????????? ??????????????? ???????. ????? ∫f(x)dx = F(x)+C. ?????, ??? ????? ????????? ?????????????????? ????? ??????, ??????????? ????????? ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C ?????? ????? ???????????????? ??? ??????? ???????). ????????? ??????? ???????-????????

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

30. Интегралы с бесконечными пределами.

Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [x_i , x_i+1 ] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.

Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел

?? ??? ?????? ???????? ????????????? ?????????? ?? ??????? f(x) ?? ?????????? ?? ? ?? +∞ ? ??????????

Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:

Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:

Где с - произвольное число.

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке ( x₀ , у₀ ). Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y₀ ) имеет экстремум в точке x₀ , т.к. неравенство f (х₀ + ∆х, y ₀ +∆у)≤ f (х₀ , y ₀ ), иначе ∆ f≤0

Или ∆ f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0.Поэтому, d/dx∙f(x,y₀ )=0 при х=х₀ , а это то же самое, что f'_x (х₀ , y ₀ )=0. Аналогично устанавливается, что f'_у (х₀ , y ₀ )=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.

31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х₀ и у к у₀ , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х₀ │< δ, │ y - y₀ │< δ( за исключением, быть может, точки (х₀ , y ₀ ) ), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение

Заметим, что точка (х₀ , y ₀ ) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х₀ , y ₀ ) Î D ;

2. существует

3.

то функция называется непрерывной в точке (х₀ , y ₀ ) .

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х₀ , y ₀ ) , а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.