Реферат: Случайные вектора

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины , являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора можно рассматривать как точку на плоскости, а функция определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .

Представим вероятность - попадания случайного вектора в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть , - малые величины и функция имеет первые производные по и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

. (50.3)

Отсюда:

. (50.4)

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Пусть у функции существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция

(51.1)

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

. (51.2)

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:

. (51.3)

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности .

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть , , , , тогда (51.2) принимает вид:

. (51.4)

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , , , , тогда из (51.2) следует равенство:

, (51.5)

поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .

4. Если - плотность вероятности вектора , и - плотность вероятности случайной величины , то