Реферат: Случайные вектора

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины . Аналогично,

. (51.7)

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

. (51.8)

Представим через плотность согласно (51.4), а через , тогда из (51.8) следует

. (51.9)

Дифференцирование (51.9) по приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и . Для независимых случайных величин и :

. (51.10)

Доказательство следует из определений функций и , . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и . Поэтому

(51.11)

- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

. (51.12)

6. Пусть - произвольная область на плоскости , тогда

(51.13)

- вероятность того, что вектор принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности .

Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Число определяется из условия нормировки:

.

Условная функция распределения вероятностей

Пусть случайные величины и имеют плотности вероятности и соответственно и совместную плотность . Рассмотрим равенство:

. (52.1)

Отсюда

(52.2)

Функция

(52.3)

называется условной функцией распределения вероятностей случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение .

Подставим (52.2) в (52.3), тогда

. (52.4)

Представим вероятности в (52.4) через плотности вероятностей, тогда

(52.5)