Реферат: Случайные вектора

Аналогично (52.3) можно определить функцию случайной величины при условии, что , и затем получить выражение аналогичное (52.5)

. (52.6)

Условная плотность вероятности

Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины при условии называется функция:

. (53.1)

Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда

. (53.2)

Отсюда следует

. (53.3)

- формула умножения для плотностей. Эта формула аналогична формуле умножения вероятностей. Очевидно,

. (53.4)

Данное равенство является аналогом формулы полной вероятности.

Аналогично (53.1) вводится условная плотность распределения вероятности случайной величины при условии как функция вида:

. (53.5)

Отсюда и из (52.6) следуют соотношения:

, (53.6)

. (53.7)

В (53.6) подставим (53.3) и (53.4), тогда:

. (53.8)

Это соотношение аналогично формуле Байеса. Здесь случайные величины и можно поменять местами, тогда получим также верное соотношение для условной плотности , которая определяется через функции и .

Числовые характеристики двумерного случайного вектора

54.1. Пусть случайные величины и имеют совместную плотность вероятности и - функция двух переменных. Тогда - случайная величина, полученная подстановкой случайных величин и вместо аргументов и .

Математическим ожиданием случайной величины называется число

. (54.1)

Если , , тогда из (54.1) следует

, , . (54.2)

Числа называются начальными смешанными моментами порядка случайных величин и . Эти числа применяются в качестве статистических характеристик двумерного случайного вектора. Рассмотрим частные случаи (54.2). 1). , тогда - начальный момент порядка случайной величины . При дополнительном условии получаем - математическое ожидание случайной величины , при - - среднее ее квадрата и т.д. Таким образом, при смешанные моменты (54.2) совпадают с начальными моментами случайной величины . 2). Если положить , тогда - смешанные моменты совпадают с начальными моментами случайной величины . В обоих случаях получаем индивидуальные характеристики одной из случайных величин. 3). Для получения групповой характеристики (54.2), отражающей свойства совокупности двух случайных величин, необходимо рассмотреть ненулевые . Наиболее простой вариант: , . При этом из (54.2) следует

. (54.3)

Число называется корреляцией случайных величин и и представляет собой важнейшую характеристику совокупности двух случайных величин.

Если и - независимы, то и (54.3) преобразуются следующим образом: