Реферат: Случайные вектора
50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины
,
являются компонентами случайного вектора
. Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора
можно рассматривать как точку на плоскости, а функция
определяет вероятность попадания точки в часть плоскости:
, выделенной на рис. 50.1 штриховкой.
Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .
Представим вероятность - попадания случайного вектора
в прямоугольник
,
,
,
, рис 50.2, через функцию
. Несложно определить, что
Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.
(50.2)
Пусть ,
- малые величины и функция
имеет первые производные по
и
, а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:
. (50.3)
Отсюда:
. (50.4)
Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин
Пусть у функции существуют производные по
,
, а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин
и
называется функция
(51.1)
Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.
1. Справедливо соотношение:
. (51.2)
Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:
. (51.3)
Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора
в прямоугольник, определяемый отрезками
и
через плотность вероятности
.
2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть ,
,
,
, тогда (51.2) принимает вид:
. (51.4)
Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности
и является обратным по отношению к равенству (51.1).
3. Рассмотрим (51.2) при условиях: ,
,
,
, тогда из (51.2) следует равенство:
, (51.5)
поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности
.
4. Если - плотность вероятности вектора
, и
- плотность вероятности случайной величины
, то