Структура аффинного пространства над телом

1. Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства . Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований , и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1 . Пусть - некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и - ее нейтральный элемент.

Говорят, что действует слева на множестве , если определенно отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям

и . (1)

Аналогично говорят, что действует на справа, если определено отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям

и . (1^/ )

Соотношения (1) (соответственно (1^/ )) показывают, что ( соответственно )- это биекции на и что (соответственно ).

Например, любая группа действует сама на себе слева левыми сдвигами : и справа правыми сдвигами : .

Группа действует на себе слева также внутренними автоморфизмами : .

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева .

Понятно, что для коммутативной группы оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.

Определение 1.2. Пусть группа действует слева на множестве с законом действия . Говорят, что действует на транзитивно , если для любой пары элементов существует хотя бы один элемент , такой, что ; далее, говорят, что действие просто транзитивно , если этот элемент всегда единственный .

Пример . Линейная группа автоморфизмов действует транзитивно на , но это действие не является просто транзитивным, кроме случая .

Определение 1.3. Пусть группа действует слева на множестве . Стабилизатором подмножества множества называется множество .

Непосредственно ясно, что - подгруппа группы. Если множество состоит из одного элемента , то это подгруппа называется группой изотропии элемента .

Замечание . Стабилизатор является пересечением двух множеств и , которые не обязаны быть подгруппами . Например, если действует на себе трансляциями и - положительная полуось, то не является подгруппой, а .

Определение 1.4. Пусть - группа, действующая слева на ; орбитой элемента называется образ при отображении .

Если действует на транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с .

Замечание . На можно определить отношение эквивалентности , полагая , если существует элемент , такой, что ; классы эквивалентности являются орбитами элементов ; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит .

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством , ассоциированным с группой , называется множество , на котором определено транзитивное действие группы .

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть - группа, - ее подгруппа, - фактормножество, образованное левыми смежными классами относительно : элементы из объявляются эквивалентными, если существует элемент , такой, что ; класс эквивалентности элемента есть множество элементов вида , где .

Действие слева группы на определяется с помощью ; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть - однородное пространство, ассоциированное с группой , и для любого пусть - группа изотропии . Тогда существует единственная биекция факторпространства на , такая, что для всех выполнено , где - каноническая проекция и - действие на .

Доказательство . Соотношение равносильно и, значит, или ; следовательно, отображение , переносится на фактормножество и представляется в виде , где - биекция.

Специальный случай

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--