Реферат: Структура аффинного пространства над телом

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть - векторное пространство над произвольным телом . Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы .

Это действие записывается обычно в виде

ℰℰ , .

Для любого биекция ℰ ℰ, называется трансляцией на вектор ; далее, для некоторой пары элементов ℰ единственный вектор , такой, что , обозначается .

Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками ) от элементов (называемых векторами ), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как , а ”векторы -строчными, например ; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , снабженное семейством биекций , таких, что

a) _ℰ и ;

b) для любой пары ℰ ℰ существует единственный вектор , такой, что .

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , снабженное отображением ℰ ℰ , обозначаемым , таким, что

a) для каждого ℰ отображение ℰ , биективно ;

b) для любых точек из ℰ выполнено соотношение Шаля

.

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки ℰ мы имеем .

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через единственную точку , такую, что , и заметив, что соотношение Шаля равносильно . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ отображение ℰ , есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру .

Обозначения . Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом ; множество ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰ _A .

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ - это те свойства векторного пространства ℰ _A , которые не зависят от выбора точки .

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ . Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . По определению, размерность ℰ равна размерности .

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности , ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Каждое векторное подпространство пространства образует подгруппу группы , действующую на ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия на ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением . Группа , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ℰ .

Если есть ЛАМ с направляющим подпространством и - точка , то допускает структуру векторного пространства с началом и есть векторное подпространство в ℰ _A . Обратно, любое ВПП пространства ℰ _A есть ЛАМ, проходящее через ; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ , проходящие через точку , суть векторные подпространства векторного пространства ℰ _A .

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ пространства ℰ полностью определяется заданием множества точек .

Другие определения.