Реферат: Структура аффинного пространства над телом

Доказательство. Если , то для любых , имеем и . Таким образом, .

Обратно, если существуют и , такие, что , то можно представить в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием , принадлежит и, как легко видеть, . Это доказывает, что принадлежит также , а тем самым не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если , - аффинные подпространства в ℰ , направляющие которых взаимно дополняют друг друга в , то и имеют единственную общую точку .

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий , вполне параллельны , если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .

Более общо, говорят, что параллельно , если направляющие пространства , многообразий , удовлетворяют включению .

Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно) ” равносильно существованию трансляции пространства ℰ , такой, что (соответственно ).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством пространства ℰ

Предположение 3.6. Если - непустое подмножество в ℰ , то существует единственное аффинное подпространство в ℰ , обозначаемое , содержащее и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ , содержащее , содержит и .

Говорят, что порождено .

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ _A , содержащего (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ ). Таким образом, есть ВПП в ℰ _A , порожденное ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также

Предложение 3.7 . Пусть - непустое подмножество в ℰ ; для каждой точки положим . Тогда векторное пространство не зависит от выбора и есть ЛАМ, проходящее через с направлением .

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если - конечное множество, то векторное пространство не зависит от и, следовательно, совпадает с

и .

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного точками пространства ℰ не превосходит ; его размерность равна тогда и только тогда, когда векторов () образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.