Реферат: Структура аффинного пространства над телом
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение 
равносильно каждому из следующих утверждений:
и 
ℰ
, (1)
ℰ , (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества 
пространства ℰ называется точка 
. Она существует только тогда, когда характеристика 
не является делителем числа 
.
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4. Пусть 
- конечное семейство взвешенных точек, таких, что 
для всех 
, 
и 
.
Если характеристика отлична от 2, то существует разбиение 
множества 
, такое, что
и 
.
Доказательство . Если одна из сумм 
отлична от нуля, то достаточно положить 
и 
.
Если все суммы 
равны нулю, то все 
равны одному и тому же элементу 
, такому, что 
, где 
.
Если характеристика 
отлична от 2, то 
, и, поскольку 
не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая 
как двухэлементное подмножество, а 
как подмножество из 
элементов.
Следствие. Если характеристика не равна 2, то построение барицентра 
точек приводится к последовательному построению 
барицентров пар.
Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5 . Если 
- непустое подмножество в ℰ , то 
есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в 
.
Доказательство . Уточним сначала, что под носителем семейства 
понимается множество 
.
Условившись об этом, выберем некоторую точку 
в . Барицентры семейства с носителями в суть точки 
, удовлетворяющие соотношению вида
, (3)
где