Реферат: Структура аффинного пространства над телом
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение равносильно каждому из следующих утверждений:
и
ℰ
, (1)
ℰ
, (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества пространства ℰ называется точка
. Она существует только тогда, когда характеристика
не является делителем числа
.
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4. Пусть - конечное семейство взвешенных точек, таких, что
для всех
,
и
.
Если характеристика отлична от 2, то существует разбиение
множества
, такое, что
и
.
Доказательство . Если одна из сумм отлична от нуля, то достаточно положить
и
.
Если все суммы равны нулю, то все
равны одному и тому же элементу
, такому, что
, где
.
Если характеристика отлична от 2, то
, и, поскольку
не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая
как двухэлементное подмножество, а
как подмножество из
элементов.
Следствие. Если характеристика не равна 2, то построение барицентра
точек приводится к последовательному построению
барицентров пар.
Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5 . Если - непустое подмножество в ℰ , то
есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в
.
Доказательство . Уточним сначала, что под носителем семейства понимается множество
.
Условившись об этом, выберем некоторую точку в
. Барицентры семейства с носителями в
суть точки
, удовлетворяющие соотношению вида
, (3)
где