Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B₁A+B₂A+...+B_kA.

Показать, что события B₁A, B₂A, B_kA попарно несовместны. B_iAB_jA=B_iB_jAA=VAA=V

Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно B_i, т.к. B₁, B₂, ..., B_k образуют полную группу.

Т.к. B₁, B₂, ..., B_k несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:

; т.е.

Например: Имеются урны трех составов

1	5 урн	6 белых и 3 черных шара
2	3 урны	10 белых и 1 черный
3	7 урн	0 белых и 10 черных

Все шары в каждой урне перемешаны.

Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.

B₁ - Вытащить любой шар из урны 1.

B₂ - Вытащить любой шар из урны 2.

B₃ - Вытащить любой шар из урны 3.

A - Извлечь белый шар.

A=B₁A+B₂A+B₃A

B₁, B₂, B₃ - попарно несовместны.

Формула полной вероятности: P(A)=P(B₁)P(A/B₁)+P(B₂)P(A/B₂)+P(B₃)P(A/B₃)

P(B1)=1/3	P(A/B1)=6/9=2/3
P(B2)=1/5	P(A/B2)=10/11
P(B3)=7/15	P(A/B3)=0

P(A)=1/3Ч2/3+1/5Ч11/10+7/15Ч0=2/9+2/11=40/99»0.4

Формула Байеса.

Постановка задачи та же, но решаем обратную задачу.

Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие B_i.

Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные - априорными вероятностями.

P(AB_i)=P(A)P(B_i/A)=P(B_i)P(A/B_i)

Откуда,

Таким образом, формула Байеса:

Композиция испытаний.