Основные определения устойчивости непрерывных систем справедливы и для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.

Необходимым и достаточным условием устойчивости непрерывной линейной системы является расположение в левой полуплоскости всех корней ее характеристического уравнения. Сопоставим, как выглядят уравнения для непрерывных и для дискретных систем.

Для непрерывных систем передаточные функции представляют отношение дробно – рациональных функций и имеют вид

. (1)

Характеристическое уравнение представляет собой степенное уравнение, при этом число корней уравнения равно степени полинома - n .

Например, для передаточной функции

Для дискретных систем передаточные функции имеют вид

.(2)

Характеристическое уравнение представляет собой трансцендентное уравнение, при этом число корней уравнения бесконечно, так как они имеют периодический характер.

Например, для передаточной функции

(3)

корни определяются из соотношений

.

Каждому из n корней в плоскости Р, соответствует бесконечное множество периодических корней в плоскости Р* ,отстоящих друг от друга на расстоянии частоты квантования и расположенных по группам в каждой полосе. Для анализа свойств системы достаточно анализировать расположение корней в одной, так называемой основной полосе, в качестве которой обычно считают полосу частот .

Расположение корней этого уравнения в комплексной плоскости приведено на рис. 1.

Рис. 1

Дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.

Пример 1. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией

.

Решение: Характеристическое уравнение системы имеет вид

Определим корни характеристического уравнения

.

Система устойчива, так как все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.

Пример 2. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Определим корни характеристического уравнения заданной системы

.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--