Шпаргалка: Шпаргалка по Математике 4

сходится равномерно на X , если: 1) Ряд a_n сх. равн. на X ; 2) функции b_n ( x ) ограничены в совокупности и "x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множествеX , если: 1) Част. суммы a_n ( x ) ( n =1,…, N ) в совокупности ограничены; 2) посл-ть b_n ( x ) ( n =1,2,…) монотонна "x и равномерно на X стре­мится к нулю при n ® µ .

15. Непрерывность и lim пер.

Th : {f_t ; t ÎT }, f_t : X ® C ; B - база в T . Если f_t сх.равн. к f на X при базе B и функции f_t непрерывны в точке x ₀ ÎX , то функция f :X ® C тоже непрерывна в этой точке.

Следствие 1 : Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2 : Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равно­мерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.

17. Интегрирование и lim .

Th : {f_t , t ÎT }, f_t :[a ,b ]®C ; B - база T ; Если функции семейства интегрируемы на [a ,b ] и f_t сх. равн. к f на [a ,b ] при базе B , то предельная функция f :[a ,b ]®C тоже интегрируема на отрезке [a ,b ] и

Следствие : Если ряд из интегрируемых на [a ,b ] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a ,b ],

19. Характер сх. ст. ряда.

Th : Степенной ряд

сходится в круге K = {z ÎC | | z – z₀ | < R }, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:

Вне этого круга ряд расходится. На любом замк­нутом круге, лежащем строго внутри круга K схо­димости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.

21. Дифф. и ò ст. рядов:

Th : Если круг K ÎC сходимости ст. ряда

не сводится к единственной точке z = z ₀ , то внутри K сумма f ( z ) этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, f ( z ) :K ®C можно интегрировать по любому гладкому пути g:[0,1]®K , и если

то

23. Ряд Тейлора.

Аналитическая в точке a ф-я f (x ) в некоторой окр­естности этой точки разлагается в степенной ряд

Остаточный член в форме Лагранжа :

в форме Коши :

Основные разложения:

25. Алгебры функций.

Совокупность A вещественно (комплексно)-знач­ных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной ) алгеброй функций на X , если из f ,g ÎA и a ÎR ( C ) следует, что

27. Теорема Стоуна:

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K , то A является всюду плотным подмножеством простанства C (K ,R ).