Шпаргалка: Шпаргалка по Математике 4

Если f ÎC ([a , b ],C ), то $ {P_n ; n ÎN } многочленов P_n :[a , b ]®C , что P_n сх. равн. к f на [a , b ]. При этом, если f ÎC ([a , b ],R ), то и многочлены P_n можно выбрать из C ([a . b ],R ).

31. Дифф. и непр. собств. ò (пар) .

Непрерывность : P = {(x , y )ÎR ² | x Î[a , b ], y Î[c , d ]}. Если функция f :P ®R непрерывна, то ф-я

непрерывна в любой точке y Î[c , d ].

Дифференцирование : Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y , то интеграл ­ принад­лежит к классу C ⁽¹⁾ ([c , d ], R ), причем

33. Пр. Вейерш.РС несоб. ò ( пар ).

Пусть f ( x , y ), g ( x , y ) интегрируемы по x на любом отрезке [a , b ]Ì[a , w ] "y ÎY .

Если "x Î[a , w ], "y ÎY | f ( x , y ) | ≤ g ( x , y ) , а интеграл

сходится равномерно на Y , то интеграл

сходится абсолютно "y и равномерно на мн-ве Y .

35. lim перех. под. знаком.н. ò .

Th : Пустьf ( x , y ) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x Î[a , w ), и пусть B_Y -база в Y .

Следствие : Пусть "y ÎY ÌR вещ. ф-я f ( x , y ) неотри­цательна и непрерывна на x Î[a , w ). Если с ростом y ф-ции f ( x , y ) , монотонно возрастая, стр. к j (x ), jÎC ([a , w ],R ) и

то справедливо равенство (*).

37. Дифф. н. ò (пар).

Th : Если

а) ф-ции f ( x , y ) , f ’ _y ( x , y ) непрерывны на {(x,y)ÎR ² | x Î[a , w ),y Î[c , d ]},

b) интеграл

c) интеграл

то он сх. равн. на Y ; при этом ф-я F ( y ) оказывается дифференцируемой и

39. Интегрирование н. ò (пар):

Если f ( x , y ) непрерывна на {(x , y )ÎR ² | x Î[a , w ),y Î[c , d ]} и интеграл

то ф-я F интегрируема на [c , d ] и

41.

43. Ряды Фурье.

Если X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {l_k }–ортог. система ненулевых векторов в X , то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье :

Экстремальное свойство : "y ÎL ||x – x_l ||≤||x – y ||. Раве­нство возможно только при y =x_l .

Неравенство Бесселя :

Равенство Парсеваля :