Учебное пособие: Численные методы для решения нелинейных уравнений
Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1. 
,
2. 
.
Каждой паре элементов 
поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом 
и называемое скалярным произведением, где
и выполнены следующие условия:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
, причем 
– нулевой элемент.
Матрица 
вида
, (1)
где 
– действительные числа (
,
) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство 
в себя, а именно, для 
,
где 
.
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1. сложение операторов 
, при этом, если 
, то 
,
2. умножение операторов на числа: 
при этом, если 
, то 
,
3. умножение операторов: 
, при этом, если 
, то 
.
Обратным к оператору называется оператор 
такой, что 
, где 
– единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
.
Пусть число 
и элемент 
, таковы, что 
.
Тогда число называется собственным числом линейного оператора 
, а элемент 
– собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор 
называется сопряженным к оператору , если для любых элементов 
выполняется равенство 
.
Для всякого оператора 
сопряженный оператор существует, единствен; если 
, то 
.
Справедливы равенства:
1. 
,
2. 
,
3. 
,