Учебное пособие: Численные методы для решения нелинейных уравнений

Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).

Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность

(4)

по следующим формулам

(5)

Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:

где – релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.

4.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:

(6)

Иными словами, при вычислении используются не , как в методе простой итерации, а .

4.3 Метод Ньютона

Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.

Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора

,

где из уравнения (2).

Так, для к -го приближения к точному решению уравнения (2) ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2), а именно:

или ,

где – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, т.е. , вычисленных в точке .

Таким образом, последовательность (4) строится по следующим правилам:

(),

где – обратный оператор к линейному оператору , определяемому квадратной матрицей

Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной (построение ), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы решают алгебраическую систему уравнений (7) относительно неизвестных . Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор .

Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:

(7)