Учебное пособие: Численные методы для решения нелинейных уравнений
Каждому элементу 
ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом 
и называемое нормой элемента 
.
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1. 
, причем 
, лишь если 
,
2. 
,
3. 
.
Говорят, что последовательность элементов 
сходится к элементу 
,
а именно, 
,
или 
,
если 
.
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве 
называется сходимостью по норме.
Множество элементов 
, удовлетворяющих неравенству 
называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве 
с центром в точке 
и обозначается 
.
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом 
и называемое нормой линейного оператора 
.
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4 
, причем 
, лишь если 
– нулевая матрица,
4.4 
,
4.4 
.
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :
,
,
,
где 
i - ое собственное значение матрицы 
.
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия 
.
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид: