Учебное пособие: Численные методы для решения нелинейных уравнений
Каждому элементу ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом
и называемое нормой элемента
.
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1. , причем
, лишь если
,
2. ,
3. .
Говорят, что последовательность элементов сходится к элементу
,
а именно, ,
или ,
если .
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве называется сходимостью по норме.
Множество элементов , удовлетворяющих неравенству
называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве
с центром в точке
и обозначается
.
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом и называемое нормой линейного оператора
.
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4 , причем
, лишь если
– нулевая матрица,
4.4 ,
4.4 .
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в
:
,
,
,
где i - ое собственное значение матрицы
.
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия
.
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид: